四色定理とは、いかなる地図も、隣接する領域が異なる色になるように塗るには
4色あれば十分だという定理である。但し飛び地のような領域は考えない。
実際の行政区分で飛び地があったとしても飛び地とその飛び地の所属する
本国は関連せず、別の色であってもよいとする。解決前は四色問題と呼ばれており、
未解決の期間が長かったため現在でも四色問題と呼ばれることがある。

四つの領域が互いに接しているような地図が存在するので、3色では不可能である。
この問題は球面上のグラフで考えても同値である。問題を双対グラフに置き換える
ことによって、頂点を彩色することに帰着される。

四色定理の示すように領域の塗り分けが有限の色数で必ず可能となるのは平面
（二次元）以下の次元までであり、三次元以上では領域の取り方次第でいくらでも
色数が必要となってしまうようになる。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』



NHK教育の番組でこの定理の分かりやすい説明をやっていました。
これに関連した一筆書きの法則も、見ていて楽しかったです。
その楽しさの半分は、講師のおじさんのキャラクターでしたが。